Правильно писать "в течение дня". Фраза "в течение" с "е" на конце используется, когда речь идет о временном промежутке и сочетается с существительными, обозначающими время. Эту конструкцию можно заменить словами "на протяжении" или "в период". Например: "Эта мода существовала в течение столетия".
Форма "в течении" с "и" на конце используется, когда речь идет о направлении движения воды, и между словами "в" и "течении" можно вставить прилагательное. Например: "в быстром течении реки".
Таким образом, в контексте времени правильно будет использовать "в течение дня".